UNIVERSIDAD AUTONOMA CHAPINGO

                                                     PREPARATORIA AGRICOLA

AREA DE MATEMATICAS

    HIPERBOLA

Materia:    Geometría Analítca

Profesor:   

          Juan Suarez Sanchez

INTEGRANTES:

• Pérez Hernández Carmela
• Rodriguez Aguilar Sonia Azucena
• Juarez Cruz Carla Jenifer
• Cipriano Esteban María Elena
• Vazquez Maya María Patricia
• Santiago López Lorenzo
• Ruiz Mendoza José Uriel
• Medina Hernández Javier

CAPITULO I

DEFINICION DE HIPERBOLA

La hipérbola es una curva de segundo grado consta de dos ramas infinitas contenidas en dos de los ángulos opuestos por el vértice que define sus asíntotas. La hipérbola es el lugar geométrico descrito por un punto que se mueve de tal modo que la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos, llamados focos, se mantiene constante.

LL´=LADO RECTO

VV´=EJE TRANVERSAL

AA´=EJE CONGUJADO

DD´=DIAMETRO

FP=RADIO VECTOR

“a”: es la longitud del semi-eje transverso

“b” es la longitud del  semi-eje conjugado

“c” es la distancia   del centro a cada foco

ECUACION ORDINARIA DE LA HIPERBOLA

   

•     El centro en el origen  tiene como centro a: v (0,0)
•      El eje transverso  comprende  el segmento vv`   y su magnitud es de 2c
•       El eje  conjugado  comprende el segmento  AA` y su magnitud es de 2b; entonces  las coordenadas de los focos son f (-c,0) y  f`(c,0)
•       El valor de c: es una constante positiva

Para obtener la formula de la hipérbola se siguen los  

El punto p es un punto cualquiera de la hipérbola, tiene como coordenadas

p (x, y), por lo tanto para obtener  la ecuación general de la ecuación; tenemos los siguientes elementos

a : es una constante  positiva

Aplicando la fórmula de la distancia

Para eliminar los radicales, trasladamos uno de ellos al segundo miembro de la igualdad

Elevamos al cuadrado ambos miembros de la igualdad

Desarrollamos

Simplificamos

Dividimos entre 4 ambos miembros de la igualdad e introducimos a al radical

Volvemos a elevar al cuadrado para eliminar el radical

Reduciendo términos semejantes

Factorizando

 Dividiendo la igualdad entre el producto

Haciendo c² - a² = b², por consiguiente, la ecuación de la hipérbola horizontal con centro en el origen es:

La ecuación sólo contiene potencias pares de x y y, la curva también es simétrica con respecto al origen y con respecto a los ejes.

 El lado recto es la cuerda perpendicular al eje mayor por uno de los focos y su longitud la calculamos por

Mientras que las ecuaciones de las directrices son:

                        

Las ecuaciones de las asíntotas son:?

                        

 La excentricidad es mayor a la unidad

o por la relación del punto a un foco con respecto del mismo punto a la directriz ubicada la mismo lado del foco.

 CAPITULO II

ASINTOTAS DE LA HIPERBOLA

Una curva tiene como asíntota una recta, si la distancia de un punto P de la curva a la recta tiende a cero cuando el punto P se aleja indefinidamente del origen de coordenadas recorriendo la curva. En otros términos, puede decirse que una asíntota es una tangente a la curva en el infinito.

CONSTRUCCIÓN DE ECUACIONES DE LAS ASÍNTOTAS

Las ecuaciones  de las asíntotas son:

Cuando el eje real o transversal es el eje x.

 

Cuando el eje real o transversal es el eje  y.

Asíntota de la hipérbola: si de la forma conforme  de la ecuación de la hipérbola

                                 (1)

Despejamos y, obtenemos

Que puede escribirse en la forma

         (2)

Si un punto de la hipérbola (1) se mueve a lo largo de la curva. De modo que su abscisa x aumenta numéricamente sin límite, la radical del segundo miembro de (2) se aproxima mas y mas a las unidad, y la ecuación tiende ala forma

                           (3)

Como la ecuación (3) representa las rectas                          y 

                     

Esto nos conduce  a inferiri, de la definición de asíntota. Que la  hipérbola es asíntota a estas dos rectas. Ahora demostraremos que esta reducción es correcta.

 Seaun punto cualquiera de la parte superior de la rama derecha de la hipérbola (1), como se indica en la figura 96. La ecuación de la recta puede escribirse en la forma                

 (4)  

 La distancia de d de la recta (4) al puntoesta dada por

                          

    (5)

si multiplicamos numerador y denominador del segundo miembro de (5) por obtenemos

      (6)

Pero como p1 esta sobre la hipérbola (1), de manera que  la ecuación (6) puede escribirse en la forma

         

 (7)

CAPITULO III

Graficación de una Hipérbola

Para graficar una hipérbola se tiene que saber claramente las partes  y componentes que forman  a la hipérbola (se encuentran explicados en la sección de definición). Después de tener los datos necesarios se puede comparar y utilizar la ecuación ordinaria o canónica  de la hipérbola, dependiendo del problema a resolver.

Para entender mejor, observemos el siguiente ejemplo:

Los vértices de una hipérbola son los puntos V(0, 3) y sus focos los puntos F(0,5). Hallar la ecuación de la hipérbola, las longitudes de sus ejes transverso y conjugado, su excentricidad y la longitud de cada lado recto.    

Como los vértices y los focos están sobre el eje “Y”, el eje focal coincide con el eje “Y”. Además, el punto medio del eje transverso está evidentemente en el origen. La ecuación de la hipérbola será de la forma:

La distancia entre los vértices es:  que es la longitud del eje transverso.

Donde:      

"a" es la longitud del semi-eje transversal

"b" la del semi-eje conjugado

"c" la distancia del centro a cada foco

La distancia entre los focos es:

Por lo tanto:

Tenemos: 

y la longitud del eje conjugado es:

La ecuación de la hipérbola es entonces:

La excentricidad es: 

Y la longitud de cada lado recto es:

El lugar geométrico está representado en la gráfica siguiente, en donde el eje conjugado está indicado por el segmento AA’ del eje ”X”

CAPITULO IV

 HIPÉRBOLA: CON CENTRO EN EL ORIGEN

Definición:

El centro de la hipérbola está en la coordenada (0,0)

 Ecuación canónica de la hipérbola

PRIMERA ECUACIÓN ORDINARIA DE LA HIPÉRBOLA

La ecuación de la hipérbola de centro en el origen, eje focal coincidente con el eje “X”, y focos  los puntos (c, 0) y (-c, 0) es:

Si el eje focal coincide con el eje “y “, de manera que las coordenadas de los focos sean (0, c) y

(0,-c), entonces la ecuación es:

Donde “a” es la longitud de semi – eje transverso,  "b"  la del semi  - eje conjugado, 2 c 2 la distancia del centro a cada foco y a, b y c  están ligadas por la relación:

A longitud de cada uno de sus lados rectos es    y la excentricidad “e” está dada por la relación:

La posición de la hipérbola se determina por los signos de los coeficientes  de las variables en la forma canónica de su ecuación. La variable de coeficiente positivo corresponde al eje coordenado que contiene al eje transverso de la hipérbola.

Ejemplo 1)

Los vértices de una hipérbola son los puntos V (0,-3) y V’ (0,-3) y sus focos son  F (0,5) y F’ (0,-5). Hallar la ecuación de la hipérbola, las longitudes de sus ejes transverso y conjugado, su excentricidad y la longitud de cada lado recto.

Como los vértices y los focos están sobre el eje “y”. Además, el punto medio del eje transverso esta evidentemente en el origen. La ecuación de la hipérbola será de la forma:

La distancia entre los vértices es: 2a =2 (3)= 6 que es la longitud del eje transverso.

La distancia entre los focos es:

Por lo tanto:

 y 

De donde aplicando:

Tenemos:

Y la longitud del eje conjugado es:

La ecuación de la hipérbola es entonces:

La excentricidad es:

Y la longitud de cada lado recto es:

El lugar geométrico está representado en la ilustración en donde el eje conjugado está indicado por el segmento: A del eje "X"

Ilustración: hipérbola con centro en el origen.